Warum digitale Schaltungen binär arbeiten
Ein Draht in einer digitalen Schaltung hat zuverlässig nur zwei Zustände: etwa 0 V (logisch 0) oder etwa 5 V/3,3 V (logisch 1). Binär — Basis 2 — ist genau das Zahlensystem, das vollständig aus diesen zwei Ziffern aufgebaut ist, weshalb es das einzige Zahlensystem ist, das sich ohne zusätzliche Kodierung direkt auf physische Hardware abbilden lässt.
Umrechnung von Binär nach Dezimal
Jedes Stellenwertsystem funktioniert gleich: Jede Ziffer wird mit der Basis potenziert mit ihrer Position multipliziert, gezählt ab 0 von rechts. Für Binär ist die Basis 2, sodass die Binärzahl 1011 wie folgt in Dezimal umgerechnet wird:
- 1011₂ = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀
Umrechnung von Dezimal nach Binär
Die umgekehrte Umrechnung teilt wiederholt durch 2 und notiert die Reste, gelesen von unten nach oben:
- 11 ÷ 2 = 5 Rest 1
- 5 ÷ 2 = 2 Rest 1
- 2 ÷ 2 = 1 Rest 0
- 1 ÷ 2 = 0 Rest 1
- Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben 1011 — denselben Wert wie oben.
Hexadezimal als Kurzschreibweise
Binärzahlen werden schnell lang — ein einzelnes Byte sind 8 Ziffern. Hexadezimal (Basis 16) gruppiert jeweils 4 Binärziffern zu einem Symbol (0-9, dann A-F für 10-15), sodass ein Byte in nur 2 Hex-Ziffern passt. 1011 0110₂ wird zu B6₁₆ — für Menschen viel leichter zu lesen, zu schreiben und sich zu merken, lässt sich aber trotzdem trivial wieder 4 Bit auf einmal in Binär umrechnen.
Warum das beim Schaltungsentwurf wichtig ist
Die Blöcke „Binär→Gray" und die 4-Bit-Arithmetikblöcke (Addierer, Komparator, ALU) in Boolflow arbeiten intern alle mit binären Bussen. Das Verständnis der Binär-Dezimal-Umrechnung ermöglicht es, das Ergebnis einer Wahrheitstabelle vorherzusagen oder eine Verilog-Testbench von Hand zu überprüfen, bevor man dem Simulator vertraut.